Séries entières

Exercice 1

Calculer le rayon de convergence des séries entières suivantes, et leurs sommes :

\[ \sum \frac{n^2}{3^n} x^n, \quad \sum \cosh(n) x^n, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right) x^n, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} x^n \]

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Exercice 2

Développer en série entière en 0 les fonctions suivantes :

1. \(f(x) = \frac{1}{(x - 1)(x - 2)}\)
2. \(k_t(x) = \frac{1}{x^2 - 2tx + 1}\), pour \(t \in \mathbb{R}\)
3. \(g(x) = \frac{x^2 + x}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}\)
4. \(h(x) = \ln(x^2 - 5x + 6)\)

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Exercice 3

Soient \(\alpha \in \mathbb{R}\), et \(f : ]-1,1[ \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = (1 + x)^\alpha\).

1. Calculer la dérivée n-ième de \(f\).
2. Montrer que la série suivante a un rayon de convergence égal à 1 : \[ S(x) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n \]
3. Soit \(g : ] -1, 1[ \to \mathbb{R}\) la fonction définie par la série \(S(x)\). Montrer que la fonction \(x \mapsto (1 + x)^{-\alpha} g(x)\) est constante. En déduire une relation entre \(f\) et \(g\).
4. En déduire le développement en série entière de \(\arcsin\) sur \(]-1,1[\).

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Exercice 4

1. Montrer que \[ \ln(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \]

2. Calculer \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \] Indication : considérer la fonction \(\arctan\), et raisonner comme dans l’exercice 6.

3. (*) Calculer \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1} \]

   Indication : on pourra exprimer cette somme à l’aide d’une primitive de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{1+x^3}\), obtenue par une décomposition en éléments simples.

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Exercice 5

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = \frac{1}{2}\), \(u_1 = 1\) et \(u_n = 2u_{n-1} + u_{n-2}\) pour \(n \geq 2\).

1. Montrer que \(u_n \leq 3^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), et en déduire que le rayon de convergence \(R\) de la série entière \(\sum u_n x^n\) n’est pas nul.
2. Calculer la somme \(S(x)\) de la série \(\sum u_n x^n\) pour \(|x| < R\).
3. Calculer \(R\) et \(u_n\) pour tout \(n\).

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Exercice 6

On considère l’équation différentielle \((E)\) : \((1 + x^2)y'' + 2xy' = 0\).

1. Résoudre (E).

2. On suppose que \(y : (-\varepsilon, \varepsilon) \to \mathbb{R}\) est une solution développable en série entière telle que \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 1\).

   1. Montrer que pour tout \(n \geq 2\) : \[ (1 + x^2)y^{(n+1)} + 2n x y^{(n)} + n(n-1) y^{(n-1)} = 0 \]

   2. En déduire que \(y^{(2n)}(0) = 0\) et \(y^{(2n+1)}(0) = (-1)^n (2n)!\), puis expliciter une série entière solution de (E).

   3. Conclure.

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Exercice 7

On considère l’équation différentielle d’Airy :
(E) \(y'' - ty = 0\).

Montrer que toutes les solutions de (E) sont développables en séries entières de rayon de convergence infini.

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Exercice 8

Soit \(f(x) = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}}\).

1. Justifier que \(f\) possède un développement en série entière. Quel est son rayon de convergence ?
2. Montrer que \(f\) vérifie une équation différentielle d’ordre 1, puis calculer son développement en série entière. On pourra utiliser que \(f\) est impaire.
3. (*) En déduire la valeur de la série suivante : \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{2n}{n}} \]

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Exercice 9

1. Montrer que si \(|x| < 1\), alors la série suivante converge : \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2^n}}{1 - x^{2n+1}} \]

2. Montrer que si \(|x| < 1\), alors : \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2^n}}{1 - x^{2n+1}} = \frac{x}{1 - x} \]

   Indication : développer \(\frac{1}{1 - x^{2n+1}}\), utiliser les séries doubles, puis le fait que tout entier strictement positif s’écrit de manière unique comme \(2^n(2k + 1)\) avec \(k,n \in \mathbb{N}\).

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