Intégrales généralisées

Intégrale de Riemann

Exemple 1

1. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t^{\alpha }}$ a une intégrale convergente sur $[1,+\mathrm{\infty }[$ si et seulement si $\alpha >1$.
2. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t^{\alpha }}$ a une intégrale convergente sur $]0,1]$ si et seulement si $\alpha <1$.

correction

On a : $${\int }_1^x\frac{dt}{t^{\alpha }}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\alpha -1}(1-x^{1-\alpha }),& \text{si }\alpha \ne 1\\ \ln (x),& \text{si }\alpha =1\end{array}$$

Ainsi, cette intégrale admet une limite finie en $+\mathrm{\infty }$ si et seulement si $\alpha >1$.

De même, on a : $${\int }_x^1\frac{dt}{t^{\alpha }}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1-\alpha }(1-x^{1-\alpha }),& \text{si }\alpha \ne 1\\ -\ln (x),& \text{si }\alpha =1\end{array}$$

Cette intégrale admet une limite finie en 0 si et seulement si $\alpha <1$.

Ce résultat implique directement le suivant. Soit $a<b$ deux réels. Alors on a : $${\int }_a^b\frac{dt}{(b-t{)}^{\alpha }}<+\mathrm{\infty }⟺\alpha <1.$$

Intégrale de Bertrand

Exemple 2

1. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t^{\alpha }\ln (t{)}^{\beta }}$ a une intégrale convergente sur $[e,+\mathrm{\infty }[$ si et seulement si $\alpha >1$ ou $\alpha =1$ et $\beta >1$.
2. La fonction $t\mapsto \frac{1}{t^{\alpha }|\ln (t){|}^{\beta }}$ a une intégrale convergente sur $]0,\frac{1}{e}]$ si et seulement si $\alpha <1$ ou $\alpha =1$ et $\beta >1$.

correction

Montrons (1). Si $\alpha >1$, alors il existe $\gamma >0$ tel que $1<\gamma <\alpha$. On a alors : $$\frac{1}{t^{\alpha }(\ln t{)}^{\beta }}=o\left(\frac{1}{t^{\gamma }}\right),$$ et donc la fonction $t\mapsto \frac{1}{t^{\alpha }(\ln t{)}^{\beta }}$ a une intégrale convergente sur $[e,+\mathrm{\infty }[$.

Si $\alpha =1$, posons $u=\ln t$. Alors pour $x\in [e,+\mathrm{\infty }[$ on a : $${\int }_e^x\frac{dt}{t(\ln t{)}^{\beta }}={\int }_1^{\ln x}\frac{du}{u^{\beta }}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\beta -1}(1-(\ln x{)}^{1-\beta }),& \text{si }\beta \ne 1\\ \ln (\ln x),& \text{si }\beta =1\end{array}$$

D’où le résultat.

Montrons (2). Supposons $\alpha <1$. Alors pour $\gamma$ tel que $\alpha <\gamma <1$, on a : $$\frac{1}{t^{\alpha }|\ln t{|}^{\beta }}=o\left(\frac{1}{t^{\gamma }}\right),$$ d’où le résultat étant donné que l’intégrale sur $[0,1]$ de la fonction $t\mapsto \frac{1}{t^{\gamma }}$ est convergente.

De même que pour le cas (i), on trouve : $${\int }_e^1\frac{dt}{t|\ln t{|}^{\beta }}={\int }_{-\ln x}^1\frac{du}{|u{|}^{\beta }},$$ d’où le résultat.

Exercices

Exercice 1

1. Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\beta \in \mathbb{R}$. Déterminer l’ensemble des couples $(\alpha ,\beta )$ pour lesquels l’intégrale généralisée $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{t^{\alpha }}{1+t^{\beta }}dt$$ est convergente.

2. Soit $f$ une fonction intégrable sur tout intervalle borné de $\mathbb{R}$ telle que : $$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(t)=l\text{et}\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}=l^{\prime }$$ Calculer $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(f(t+1)-f(t))dt$$

Corrigé

1. On distingue deux points de singularités :
   • En $+\mathrm{\infty }$, la condition sur $\alpha$ et $\beta$ est $\beta -\alpha >1$.
   • En $0$, la condition sur $\alpha$ et $\beta$ est $\alpha >1$. L’ensemble cherché est donc : $\{(\alpha ,\beta )/\alpha >1\text{ et }\beta >1+\alpha \}$.
2. En notant $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ pour $x>0$ et en utilisant le théorème des accroissements finis, on a : $${\int }_0^x(f(t+1)-f(t))dt=[F(t+1)-F(t){]}_0^x=F(x+1)-F(x)-F(1)=f(c_x)-F(1),$$ où $c_x\in ]x,x+1[$.

Et en faisant tendre $x$ vers $+\mathrm{\infty }$, on en déduit que : $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(f(t+1)-f(t))dt=F(1)-l.$$

De manière analogue, on vérifie que : $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0(f(t+1)-f(t))dt=l^{\prime }-F(1),$$ et $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(f(t+1)-f(t))dt=1-l-l^{\prime }.$$

Exercice 2

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^1\frac{1}{(1+t^2{)}^{3/2}}dt$$

Corrigé

$f$ est continue et positive sur $[0,+\mathrm{\infty }[$. $\mathrm{\forall }t\in [1,+\mathrm{\infty }[$,

$$f(t)=\frac{1}{(1+t^2{)}^{\frac{3}{2}}}\le \frac{1}{(t^2{)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{t^3}$$

Or ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{t^3}dt$ converge car on reconnait une intégrale de Riemann ($\alpha =3>1$).

Par comparaison : ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f$ converge et comme $f$ est prolongeable par continuité sur $[0,1]$, ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f$ converge.

Exercice 3

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t|\cos t{|}^{3}dt$$

Corrigé

Soit $f:[0,+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$, $t$ associe à $t|\cos t{|}^3$.

$f$ est continue et positive sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

$\mathrm{\forall }t\in [1,+\mathrm{\infty }[$,

$$t|\cos t{|}^3\ge |cost{|}^3$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }|\cos t{|}^{3}dt& =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos t{)}^{3}dt\\ & =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos (t)-\sin (t{)}^2\cos (t))dt\\ & =2[\sin (t)+\frac{1}{3}\sin (t{)}^3{]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{2}{3}\end{array}$$

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Par la relation de Chasles

$${\int }_0^{n\pi }|\cos t{|}^{3}dt=(\frac{2}{3})n\text{et}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{n\pi }|\cos t{|}^{3}dt\to \mathrm{\infty }$$

Alors, $${\int }_0^{n\pi }|\cos t{|}^3\text{diverge}$$

Donc, par comparaison : $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t|\cos t{|}^3\text{diverge}$$

Exercice 4

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt,\alpha \in \mathbb{R}$$

Corrigé

1. ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt$

   Si $\alpha \le 0$, ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt$, $\alpha \in \mathbb{R}$ diverge en $+\mathrm{\infty }$.

   Si $\alpha >1$, $\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}\le \frac{1}{t^{\alpha }}$.

   On a ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{t^{\alpha }}$ converge donc ${\int }_0^1\frac{|\sin (t)|}{t^{\alpha }}dt$ converge (par le théorème de comparaison) donc ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt$ converge (par le théorème de convergence absolue).

   Si $\alpha =1$, soit $X\ge 1$,${\int }_0^X\frac{\sin (t)}{t}dt$. En éffectuant une intégration par partie,

   $$\begin{array}{rl}{\int }_0^X\frac{\sin (t)}{t}dt& =[\frac{-\cos t}{t}{]}_1^X-{\int }_0^X\frac{\cos (t)}{t^2}dt\\ & =\frac{-\cos X}{X}+\cos (1)-{\int }_0^X\frac{\cos (t)}{t^2}dt\end{array}$$

   et $|\frac{-\cos X}{X}|\le \frac{1}{|X|}$ qui tend vers 0 en $+\mathrm{\infty }$.

   De plus, ${\int }_1^X\frac{\cos (t)}{t^2}dt$ converge absolument majorée par l’intégrale de Riemman ($\alpha =2$).

   Ainsi, $${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt\text{converge si}\alpha =1$$

   Si $0<\alpha <1$, soit $X\ge 1$,${\int }_0^X\frac{\sin (t)}{t}dt$. Aussi par Ipp,

   $$\begin{array}{rl}{\int }_0^X\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt& =[\frac{-\cos t}{t^{\alpha +1}}{]}_1^X-{\int }_0^X\frac{\cos (t)}{t^{\alpha +1}}dt\\ & =\frac{-\cos X}{X^{\alpha +1}}+\cos (1)-{\int }_0^X\frac{\cos (t)}{t^{\alpha +1}}dt\end{array}$$

   et $|\frac{-\cos X}{X^{\alpha +1}}|\le \frac{1}{|X^{\alpha +1}|}$ qui tend vers 0 en $+\mathrm{\infty }$.

   De plus, ${\int }_1^X\frac{\cos (t)}{t^2}dt$ converge absolument majorée par l’intégrale de Riemman ($a=\alpha +1$).

   Donc y’a convergence.

2. ${\int }_0^1\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt$

   Si $\alpha \le 0$, $t\to \frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}$ est continue sur $[0,1]$.

   Si $\alpha >0$ , $\mathrm{\forall }t\in ]0,1]$, $\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}>0$ . Par un dl au voisinage de $0$.

   $$\sin t\underset{0}{\sim }t$$

   $$\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}\sim \frac{t}{t^{\alpha }}=\frac{1}{t^{\alpha -1}}$$ or, ${\int }_0^1\frac{\sin (t)}{t^{\alpha -1}}dt$ converge ssi $\alpha <2$.

   Donc, par un théorème du cours, $${\int }_0^1\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt\text{converge ssi}\alpha <2$$

   En conclusion : ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t^{\alpha }}dt\text{converge ssi}\alpha \in ]0,2[$.

Exercice 5

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cosh t-\cos t}{t^{5/2}}dt$$

Corrigé

Problème en $0$. Le DL au voisinage de $0$

$$\cosh t=1-\frac{t^2}{2!}+\mathcal{o}(t^3)$$ $$\cos t=1-\frac{t^2}{2!}-\mathcal{o}(t^3)$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\cosh t-\cos t}{t^{5/2}}& =\frac{1+\frac{t^2}{2!}-1+\frac{t^2}{2!}}{t^{\frac{5}{2}}}+\mathcal{o}(t^2)\\ & =\frac{t^2}{t^{\frac{5}{2}}}+\mathcal{o}(t^2)\\ & =\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}+\mathcal{o}(\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}})\end{array}$$

Or ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{t}}+\mathcal{o}(\frac{1}{\sqrt{(}t)})$ converge donc $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cosh t-\cos t}{t^{5/2}}dt\text{converge.}$$

Exercice 6

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^3}}$$

Corrigé

Problème en 1,

$$\frac{1}{\sqrt{1-t^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1-t)(1+t+t^2)}}$$ On ne touche pas $1-t$, par contre $1+t+t^2$ tend vers $3$ lorsque $t\to 1$.

Comme ${\int }_0^1\frac{dt}{(1-t{)}^{\frac{1}{2}}}$ converge, par comparaison ${\int }_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^3}}$ converge.

Exercice 7

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$$

Corrigé

Etude en $0$,

$$0\le \frac{\ln t}{t^2-1}\underset{0}{\sim }-\ln (t)$$ Or, ${\int }_0^1\ln tdt$ c’est une intégrale impropre (en 0). Et de plus $x^1* t , dt =-[tt - t]{x}^{1} $ qui tend vers $1$ quand $x$ tend vers $0$.

Donc ${\int }_0^{\frac{1}{2}}-\ln tdt$ converge; par comparaison ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{\ln t}{t^2-1}dt$ converge.

Etude en $1$,

Par un changement de variable $t=1-x$.

$$\ln (t)=\ln (1-x)\underset{0}{\sim }-x$$ Donc $\frac{\ln t}{t^2-1}\underset{1}{\sim }-\frac{t-1}{t^2-1}=\frac{1}{t+1}$. Comme la fonction $t\to \frac{\ln (t)}{t^2-1}$ est prolongeable par continuité en $1$.

Donc, ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$ converge.

Donc, ${\int }_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$ converge.

Remarque : l’intégrale était impropre sur deux points c’est pour cela y’a le $1/2$.

Exercice 8

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^1\frac{t}{e^t-1}dt$$

Corrigé

Etude en $\mathrm{\infty }$,

Posons $f(t)=\frac{t}{e^t-1}$ avec $t$ dans $[0,\mathrm{\infty }[$.

$$t^{2}f(t)=\frac{t^3}{e^t-1}\underset{\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{t^3}{e^t}\underset{\mathrm{\infty }}{⟶}0$$

Donc $f(t)=\mathcal{o}(\frac{1}{t^2})$. On a bien convergence de ${\int }_a^{\mathrm{\infty }}f(t)dt$ avec $a>0$.

Etude en $0$,

Un prolongement par continuité de $f$ en $0$ assure la convergence de l’intégrale.

Exercice 9

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_a^b\frac{dt}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}$$

Corrigé

Etude en $a$,

$$\frac{1}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}=\frac{1}{\sqrt{t-a}\sqrt{b-t}}=\frac{1}{(t-a{)}^{\frac{1}{2}}\sqrt{b-t}}\underset{a}{\sim }\frac{1}{(t-a{)}^{\frac{1}{2}}\sqrt{b-a}}$$

donc par comparaison ${\int }_a^b\frac{dt}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}$ converge en $a$.

Etude en $b$,

$$\frac{1}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}=\frac{1}{\sqrt{t-a}\sqrt{b-t}}=\frac{1}{(b-t{)}^{\frac{1}{2}}\sqrt{b-a}}\underset{a}{\sim }\frac{1}{(b-t{)}^{\frac{1}{2}}\sqrt{b-a}}$$

donc par comparaison ${\int }_a^b\frac{dt}{\sqrt{(t-a)(b-t)}}$ converge en $b$.

Exercice 10

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_1^{\sqrt{2}}\frac{dx}{x\sqrt{-x^4+3x^2-2}}$$

Corrigé

Etude en 1,

$$\frac{1}{x\sqrt{-x^4+3x^2-2}}=\frac{1}{x\sqrt{(x-1)(2+2x-x^2-x^3)}}\sim \frac{1}{\sqrt{x-1}\sqrt{2}}$$ ${\int }_1^{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ converge donc ${\int }_1^c\frac{dx}{x\sqrt{-x^4+3x^2-2}}$. Et pareil en $\sqrt{2}$.

Exercice 11

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^1\frac{\arcsin (\sqrt{x})}{(1-x{)}^{3/2}}dx$$

Corrigé

On a un problème en $1$ mais pas en $0$ (c’est définie et continue).

Etude en 1,

$$\arcsin (\sqrt{x})\underset{1}{\sim }\arcsin (1)=\frac{\pi }{2}$$

Donc $\frac{\arcsin (\sqrt{x})}{(1-x{)}^{3/2}}\underset{1}{\sim }\frac{\frac{\pi }{2}}{(1-x{)}^{3/2}}$. Or, ${\int }_0^1\frac{1}{(1-x{)}^{3/2}}dx$ est divergente car c’est une intégrale de Riemann avec $\alpha >1$.

Alors ${\int }_0^1\frac{\arcsin (\sqrt{x})}{(1-x{)}^{3/2}}dx$ diverge par un théorème du cours car deux fonctions équivalentes de même signe convergent ou divergent en même temps.

Exercice 12

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin t}{\sqrt{t+\cos t}}dt$$

Corrigé

Exercice 13

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^1\ln (t)\sin \left(\frac{1}{t}\right)dt$$

Corrigé

Exercice 14

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{(\ln t)\cos t}{t^{3/2}}dt$$

Corrigé

Exercice 15

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^1(\sin (x))\sin \left(\frac{1}{x^2}\right)dx$$

Corrigé

Exercice 16

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sqrt{t}\cos (t^2)\frac{dt}{e^t-1}$$

Corrigé

Exercice 17

Étudier la convergence de l’intégrale suivante : $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{t^2}\sin \left(\frac{1}{t^2}\right)dt$$

Corrigé

Indication